倒水解谜攻略 倒水解谜攻略图解
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1、现有两个容积分别为15升和9升的容器,其中,15升的容器中已经装有11升的水。你可以做下面的操作:
2、(1)把一个容器灌满;
3、(2)将一个容器中的水全部倒空;
4、(3)将一个容器中的水倒入另一个容器中,直到一个容器满或另一个容器空为止。
5、请问,下面哪些水的容量无法通过上面的操作量出来?
6、(E)上面的四个都可以量出来
7、2升:将11L倒入9L容器直到满,剩下2L。
8、5升:将9L容器装满水,倒入15L容器,倒满时9L容器里还剩5L。
9、14升:在5L的基础上,把15L倒空,将5L倒入,然后再把9L容器装满,倒入15L容器,此时15L容器有水14L。
10、为什么7L不行?还得先从一般的倒水问题说起。一般的倒水问题如下:
11、有两个容器A,B,容量分别为a和b,初始时候两个容器都是空的,问能否量出某个容量的水?
12、这个问题里,能倒出的水的量是a,b的最大公约数(a,b)的倍数。只要a,b互质,那么能量出所有的整数容量的水。这是因为,如果a,b互斥,那么一定存在整数x,y,使得ax+by=1(具体证明可以由辗转相除法而得)。假设在上述等式中,x>0,y<0,那么不断地重复下列操作:
13、(4)如果A容器中有剩余的水,再倒入B
14、这里注意两点:B容器不装满,不倒空;A容器不空则持续往B倒水,直到A空了才装满水。
15、这样,将A装满x次,B倒空|y|次,则容器中剩下1升水。
16、对于任意的整数k,我们有kxa+kyb=k,同样重复上面的操作可以得到k升水。
17、但上面这个问题稍有点区别,容器开始不是空的。因此,我们存在下面的选择:
18、(1)将11升水先倒掉,那么就剩下两个容积分别为15L和9L的空容器,由于15和9的最大公约数是3,因此能量出的水是3的倍数;
19、(2)11升水不倒出,那么最后能倒出的水是11+15x+9y,这个数不可能等于7,这是因为,假如11+15x+9y=7,那么15x+9y+4=0。这个等式右边能被3整除,左边不行,矛盾。可以看到:
20、当x=0,y=-1时,表达式的值为2L,也就是将11升水倒入9升容器,15升里剩下2升;
21、当x=-1,y=1时,表达式的值为5L,也就是将9升容器装满倒入15升容器,9升里剩下5升;
22、当x=-1,y=2时,表达式的值为14升,也就是将9升容器装满倒入15升容器,后者倒空,前者剩余5升,再将5升倒入15升,再将9升容器装满倒入15升,得14升。
23、基于上面的结论,能够量出的水可以是:0,2,3,5,6,8,9,11,...,
24、也就是可以量出3k或3k+2,但量不出3k+1。
25、昍爸,计算机博士,曾获初中和高中全国数学奥林匹克联赛一等奖,江苏赛区第一名,高考数学满分。现为大学计算机专业教授,平时注重提升孩子的数学和计算思维。此公众号将伴随昍昍的成长,分享寓教于乐、学以致用的数学与计算思维教育方式。
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